第一章: 有限伽罗瓦扩张

本章内容主要给出有限Galois扩张的定义,即 可分正规扩张 ,若$E/F$是任意扩张,那么定义Galois群为

$Gal(E/F)=\{\sigma\in Aut(E):\sigma(a)=a,\forall a\in F\}$

对于Galois群的子群$H$,我们定义$E$在$H$下的不动域为

$E^H=\{a\in E:\sigma(a)=a,\forall \sigma\in H\}$

（章璞的书上用的记号是$Inv$,但这记号太繁琐我不喜欢x）,于是我们可以定义两种对应关系,被称之为Galois对应：

$\begin{aligned} Gal(E/\cdot):\Omega&\longrightarrow\Gamma,& Inv:\Gamma&\longrightarrow\Omega\\ K&\longmapsto Gal(E/K) &H&\longmapsto E^H\\ \end{aligned}$

其中

$\Omega=\{K:F\subset K\subset E\},\quad \Gamma=\{H:H\le G\}$

这种对应是反序的.Galois基本定理将声称若$E/F$是Galois扩张,则这两个对应是互逆的,且保持共轭性.

随后给出的Artin引理使得Galois理论有了初步的发展

[Artin]
设$H$为$Aut(E)$的有限子群,则$E/E^H$是Galois的且$[E:E^H]=|H|$.（章璞将这个完整的引理拆成了两部分,一部分作为引理1.2,一部分作为命题1.4,并把这里出现的形式放到了习题）

书上的证明是完全初等的只需线性代数知识的证明,这也是经典的Tricky.他需要Dedkind-Artin特征标引理作为铺垫:

[Dedkind-Artin]
设$\chi_1,\dots,\chi_n$是$G$的两两互不相同的$K$特征标,则对任意的$g\in H$如果有

$c_1\chi_1(g)+c_2\chi_2(g)+\cdots+c_n\chi_n(g)=0$

则$c_1=\dots=c_n=0$.

并用此证明了

$E/F$是有限扩张,则$|Gal(E/F)|\le[E:F]$.

这个证明是好思考的,因为线性空间之间的同构总会把基打到基,基的个数少$Gal(E/F)$的个数的话,那么就会产生一些线性关系,这将会与Dedkind-Artin特征标引理矛盾.

S.Lang给出了另一种需要本原元定理的贴合Galois理论的证明,可以参考GTM211第六章第一节的定理1.8.

定理1.5给出了有限域扩张为Galois群的一些等价条件,其出发点分别为“内部”、“外部”、“数量关系”和“对应关系

设$E/F$为有限扩张,则以下等价

$E/F$是可分正规扩张;
$E$是$F$上可分多项式在$F$上的分裂域;
$|Gal(E/F)|=[E:F]$;
$G=Gal(E/F)$有限且$E^G=F$.

第一章习题

习题偏基础,除了正规基定理…需要一些技巧.

1.设$E$是$F$上的$2$次扩张且 $char F\neq 2$,证明$E/F$是Galois的,且存在$a$使得$E=F(a)$.并以此证明复数域没有$2$次扩张.

证明

取$\alpha\in E-F$,则$[E:F]=[E:F(\alpha)][F(\alpha):F]$,如此$E=F(\alpha)$,考虑$\alpha$在$F$上的极小多项式

$Irr(\alpha,x)=x^2+sx+t=\left(x+\frac{t}2\right)^2+\left(s-\frac{t^2}4\right)^2$

而$s-\frac{t^2}4\in F$,因此$\alpha$和$-\alpha-t$都是$Irr(x)$的根,则由定理1.5知$E/F$是Galois的.且 $\left(\alpha+\frac{t}2\right)^2\in F$.

对于复数域 $\mathbb{C}$如果有二次扩张,设为 $\mathbb{C}(a)$,则 $a^2\in\mathbb{C}$ 容易验证$a$也在复数域内.

2.设 $E=\mathbb{Q}(\alpha)$,其中$\alpha$是 $f(x)=x^3+x^2-2x-1$的一个根.证明 $\alpha^2-2$也是$f$的根,且 $E/\mathbb{Q}$是Galois的.

解

不会,我的评价是不如做代换$x\mapsto x+1/x$用单位根算.

3.设$char F=p$,$f(x)=x^p-x+c$在$F[x]$上不可约.$E/F$是$f$的分裂域.确定Galois群$Gal(E/F)$.

解

由于 $char F=p$,则$f$无重根,因此$f$可分,且若$\alpha$是$f$的根,则 $\alpha+n(1\le n\le p-1)$也是$f$的根.由定理1.5知$|Gal(E/F)|=[E:F]=p$,故 $Gal(E/F)=\mathbb{Z}_p$.

4.$E/F$是Galois的,设$G=Gal(E/F)$,$\alpha\in E$,$G\alpha={\alpha=\alpha_1,\dots,\alpha_n}$,则

$Irr(\alpha,x)=\prod_{1\le i\le n}(x-\alpha_i)$

其中 $Irr(\alpha,x)$为 $\alpha$在$F$上的极小多项式.

证明

显然任意$\sigma\in G$,作用到

$\sigma(f)=\prod(x-\sigma(\alpha_r))=\prod(x-\alpha_r)$

其中 $f=\prod_{1\le i\le n}(x-\alpha_i)$.因为 $\sigma$对 $\alpha_i$只起到置换的作用.故$f$的系数在 $E^G=F$里,也即$f\in F[x]$.显然$f$在$F$上不可约,因此$f$为$\alpha$的极小多项式.

5.设 $f_1,\dots,f_n$ 是 $F$到 $K$两两不同的单同态.证明 $f_1,\dots,f_n$ 在 $K$上线性无关.

证明

取

$\chi_{i}=f_{i}\mid_{ F^{\times} }$

由Dedkind-Aritin特征标定理立得.

6.设$E/F$为有限扩张, $K/F$为域扩张.则$E\to K$的$F$-嵌入个数不超过$[E:F]$.

证明

由习题5模仿命题1.4的证明即可.

7.(正规基定理)若$E/F$为有限Galois扩张,则存在 $a\in E$ 使得

$\{\sigma(x):\sigma\in G\}$

是$E$作为$F$的线性空间的一组基.

证明

只证$k$无限的情况.

设$Gal(E/F)={\sigma_1,\dots,\sigma_n}$.对任意$x\in E$,若存在$a_i\in F$使得

$a_1\sigma_1(x)+a_2\sigma_2(x)+\cdots+a_n\sigma_n(x)=0$

则令 $\sigma^{-1}_i(i=1,\dots,n)$作用在上式,因此得到一个线性方程组 $BA=0$,其中 $B=(\sigma^{-1}_i\sigma_j(x)),A=(a_i)^T$.下面我们只需找到一个$x$使得 $|B|\neq 0$也就是$B$可逆,如此我们就能得到 $a_i=0$.

定义

$f(X_{\sigma_1},\dots,X_{\sigma_n})=det(t_{\sigma_i,\sigma_j})$

其中

$t_{\sigma_{i},\sigma_{j} }=X_{ \sigma^{-1}_{i}\sigma_{j} }$

取 $X{id}=1$ 其余为 $0$, 则 $f\neq 0$. 对任意 $x\in E$ 取 $X_i=\sigma{i}(x)$, 注意 $f$ 是 $\sigma_{i}$ 的线性组合, 因此由Dedkind-Artin特征标定理知存在 $x\in E$ 使得

$f(\sigma_1(x),\dots,\sigma_n(x))\neq 0$

取 $G$作用到这个 $x$的集合,就是一组正规基.我们完成了证明.

8.求$\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}$的一组正规基.

解

显然$(1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6)$就是一组正规基.

9.(Artin引理)设$H$为$Aut(E)$的有限子群,则$E/E^H$是Galois的且$[E:E^H]=|H|$.

证明

由引理1.2,知$[E:E^H]\le|H|$有限,故由命题1.4知$[E:E^H]=|H|$,由定理1.5知$E/E^H$是Galois的.

10.设$E/F$为有限扩张.证明$|Gal(E/F)|$整除$[E:F]$.

证明

设$G=Gal(E/F)$,则由Artin引理知$E/E^G$是Galois的,且有由引理1.1(ii)知$E^G/F$是域扩张,又有引理1.1(iii)知$|Gal(G/E^G)|=|Gal(E/F)|$,因此

$[E:F]=[E:E^G][E^G:F]=|Gal(E/E^G)|[E^G:F]=|Gal(E/F)|[E^G"F]$

因此$|Gal(E/F)|$整除$[E:F]$.

11.设$E/F$为有限扩张.证明$E/F$正规当且仅当$F[x]$中任意不可约多项式$f$在$E[x]$中所有不可约因子均有相同次数.

证明

($\Rightarrow$)设$p(x),q(x)$是$f(x)$在$E[x]$中的两个不可约因子,需要证明$deg(p)=deg(q)$实际上需要把两者的根“对应”起来.

考虑$p(x),q(x)$在$F$上的分裂域$L$,设$\alpha,\beta$分别是$p(x),q(x)$的根,则$\alpha,\beta$在$F$上的极小多项式为$f(x)$,因此存在域同构

$\pi_0:F(\alpha)\to F(\beta)$

由同构延拓定理,$\pi_0$可以延拓为$\pi_1:L\to L$.由于$E/F$正规,故存在$g(x)$使得$E$是$g(x)$的分裂域,则$EL$是$g$在$L$上的分裂域,因此又由同构延拓定理,可将$\pi_1$延拓为$\pi_2:EL\to EL$,此时注意到$\pi_2$作用在$F$上和$g$的根上都是恒等映射,故$\pi_2$作用在$E$上也是恒等映射,故$\pi_2$将$E$上不可约多项式映到不可约多项式,而且$\pi_2(\alpha)\beta$,因此$\pi_2(p(x))$不可约且与$q(x)$有一相同的根,故$\pi_2(p(x))=q(x)$,因此$deg(p)=deg(q)$.

($\Leftarrow$)对每个$\alpha\in E$其在$F$上的极小多项式$Irr(\alpha,x)$在$E[x]$中有相同次数,由于$x-\alpha$是$Irr(x)$的一个因子,故$Irr(x)$在$E[x]$上可以被分解成一次多项式的积,也即$Irr(x)$所有根落在$E$内,故$E/F$正规.

第二章:伽罗瓦理论基本定理

书上给出的Galois基本定理的证明有点过于详细了, 导致看起来有些混乱, 但实际定理证明并不困难, 属于思考过后可以得到的结果.

[Galois基本定理]
设 $E/F$ 是Galois的, $G=Gal(E/F)$,则

$Gal(E/\cdot)$和$Inv$是互逆的反序映射.即 $E^{ Gal(E/L) }=L,\quad Gal(E/E^H)=H;$
$E^H/F$是Galois的当且仅当$H$在$G$中正规.

定理的证明并不困难, 但其中意义是深刻的. 首先, 他将群和域的概念简洁的联系了起来, 使得这两方面的问题可以互相转化, 互相借用. 其次是开创了一个新的模式: 建立不同研究对象之间反序的一一对应.

本章中有趣的一点是, 利用Galois基本定理给出了代数基本定理的证明.

[代数基本定理]
复数域$\mathbb{C}$是代数闭域.

这个证明依赖于两个基本事实:

实数域$\mathbb{R}$没有奇数次扩张.（这是由于使用介值定理可以证明$\mathbb{R}$上的奇数次多项式必有实根.）
复数域$\mathbb{C}$没有二次扩张.（$\S1$的习题1.）

第二章习题

1.设$E/F$是有限Galois扩张, $M$是中间域, $G=Gal(E/F)$,$H=Gal(E/M)$.证明与$M$共轭的中间域个数为$[G:N_G(H)]$.

证明

由Galois基本定理, 实际上只需计算$G$中与$H$共轭的子群个数, 而由群论知识知这恰好是$[G:N_G(H)]$.

2.设$E/F$有限Galois,且$Gal(E/F)=A_n,n\ge 4$.证明不存在中间域$L$使得$[L:F]=2$.

证明

我们首先注意到一个事实: 指数(index)为$2$的子群正规.

如此由于$E/L$是Galois的, 故

$(Gal(E/F):Gal(E/L))=\frac{[E:F]}{[E:L]}=[L:F]=2$

因此$Gal(E/L)$在$Gal(E/F)$中正规.当$n=4$时, $|Gal(E/L)|=6$, 这与$A_4$ 没有$6$阶子群矛盾. 而$n\ge5$时, $A_n$是单群, 因此没有正规子群, 矛盾.

3.设$E/F$有限Galois的, 素数 $p\mid [E:F]$ . 证明存在中间域 $L$ 使得$[E:L]=p$ .

证明

由于$[E:F]=|Gal(E/F)|$, 因此 $p\mid |Gal(E/F)|$, 由Cauchy定理知$Gal(E/F)$存在$p$阶子群$H$, 由Artin引理取$L=E^H$即可.特别的, 当$[E:F]$是素数时, $L=E$.

4.设$E/F$有限Galois的, 且对任意 $F\subsetneq K\subseteq E$, $K$对$F$的扩张次数都相同.证明$[E:F]$是素数.

证明

若 $n$ 不为素数, 由习题3, 则对每个素数 $p\mid [E:F]$, 存在中间域 $L\neq E$使得$[E:L]=p$, 因此

$[E:F]=[E:L][L:F]=p[L:F]$

而 $[E:F]=[L:F]$, 这意味着 $p=1$, 矛盾!

5.设$E/F$是有限Galois的, 且 $char F\neq 2$, $Gal(E/F)=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$.证明存在 $a,b\in F$ 使得 $E=F(\sqrt{a},\sqrt{b})$.

证明

$H=\mathbb{Z}_2$是$Gal(E/F)$ 的正规子群, 则由Galois基本定理得$E/E^H$是二次扩张, 且$E^H/F$也是二次扩张, 由 $\S 1$ 习题1立得.

6.设$E/F$是有限Galois的, $Gal(E/F)$ 是 $2p$ 阶非Abel群, 其中 $p$ 是奇素数. 中间域 $L$ 满足 $[E:L]=2$ ,证明$L/F$不是Galois扩张.

证明

若 $L/F$ 是Galois的, 则

$|Gal(L/F)|=[L:F]=p$

因此 $Gal(L/F)$ 指数为 $2$, 因此正规. 因此 $Gal(E/F)$ 是一个 $2$ 阶群和一个 $p$ 阶群的直积, 与题设中非Abel矛盾.

7.设$E$是 $f(x)=x^3-3$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域.写出 $E/\mathbb{Q}$ 的Galois对应.

解

设 $\omega$ 为三次单位根.则

$f(x)=x^3-3=(x-\sqrt[3]{3})(x-\sqrt[3]{3}\omega)(x-\sqrt[3]{3}\omega^2)$

易知 $E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},\omega)$, 且

$|Gal(E/\mathbb{Q})|=[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}),\mathbb{Q}]=6$

故 $Gal(E/\mathbb{Q})=S_3$.设

$\begin{aligned} &\sigma(\sqrt[3]{3})=\omega\sqrt[3]{3},\quad\sigma(\omega)=\omega\\ &\tau(\sqrt[3]{3})=\sqrt[3]{3},\quad\tau(\omega)=\omega^2 \end{aligned}$

则 $Gal(E/\mathbb{Q})=\langle\sigma,\tau\rangle$, 易知其正规子群为 $\langle\tau\rangle$, $\langle\sigma\tau\rangle$, $\langle\sigma^2\tau\rangle$, $\langle\sigma\rangle$对应的子Galois扩张为 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$,$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3^2}\omega)$,$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}\omega)$, $\mathbb{Q}(\omega)$

8.写出 $F_{2^8}/F_2$的Galois对应.

照搬例子.

9.设 $E=\mathbb{C}(t)$, $F=\mathbb{C}(t^3+t^{-3})$. 求 $E/F$的全部中间域.

解

设 $x=t^3+t^{-3}$, 则 $t$是

$f(s)=s^6-xs^3+1=(s^3-t^3)(s^3-t^{-3})$

的根, 由于 $F(x)=E$, 故

$[F(x):F]=[E:F]\le deg(f)=6$

注意到如果 $t$是 $f$的根, 那么 $t$乘上三次单位根, $t^-1$, 及其乘上三次单位根都是 $f$的根.定义

$G=\langle\sigma,\tau\mid \sigma,\tau\in Gal(E/\mathbb{C})\rangle,\quad\text{其中} \sigma(t)=\omega t, \tau(t)=t^{-1}$

易知 $|G|=6$, 而 $F\in E^G$, 因此 $[E:F]=6$, 且其Galois群为 $G=S_3$, 参考问题7.

10.设 $char F=p$, $E=F(t)$, $K=F(t^p-t-1)$. 求 $E^{Gal(E/K)}$.

解

令 $x=t^p-t-1$, 则

$f(s)=s^p-s-1-x$

的全部根为 $t+i(0\le i\le p-1)$, 因此 $E/K$是Galois的, 故 $E^{Gal(E/K)}=K$.

11.设 $N$和 $M$是有限Galois扩张 $E/F$的中间域, 且 $N$是 $M$在　$F$上的正规闭包.证明

$Gal(E/N)=\bigcap_{\sigma\in Gal(E/F)}\sigma Gal(E/M)\sigma^{-1}.$

证明

易知 $Gal(E/N)\triangleleft Gal(E/F)$, 且是 $Gal(E/M)$ 的子群.因此对每个 $\sigma\in Gal(E/F)$, 有

$Gal(E/N)=\sigma Gal(E/N)\sigma^{-1}\subset \sigma Gal(E/M)\sigma^{-1}$

因此

$Gal(E/N)\subset\bigcap_{\sigma\in Gal(E/F)}\sigma Gal(E/M)\sigma^{-1}.$

反之,

$H=\bigcap_{\sigma\in Gal(E/F)}\sigma Gal(E/M)\sigma^{-1}\triangleleft Gal(E/F)$

故 $E^H/F$ 是Galois的, 特别的, 是正规的, 因此 $N\subset E^H$, 即 $H\subset Gal(E/N)$.

12.设 $L$和 $M$是 $E$的子域, 且 $L/(L\cap M)$ 是有限Galois的. 证明 $LM/M$也是有限Galois的.

证明

明天再做（x）